Gezginler

l hopital

L’Hopital Kuralı

L’Hopital kuralı, belirsizliğin 0/0 veya ∞/∞ biçiminde olduğu limitleri hesaplamak için kullanılan bir matematiksel yöntemdir. Bu kural, Fransız matematikçi Guillaume de l’Hopital tarafından 1696 yılında yayınlanan Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes adlı kitabında ortaya konmuştur.

L’Hopital kuralı, belirsizliğin 0/0 veya ∞/∞ biçiminde olduğu limitleri hesaplamak için aşağıdaki adımları izler:

  1. Pay ve paydanın türevlerini alın.
  2. Türevlerin limitini hesaplayın.
  3. Türevlerin limiti 0/0 veya ∞/∞ ise, adımları 1 ve 2 tekrarlayın.
  4. Türevlerin limiti 0/0 veya ∞/∞ değilse, limit hesaplanmış olur.

Örnek 1:

$$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$$

Bu limitin belirsizliği 0/0’dır. L’Hopital kuralını kullanarak bu limiti hesaplayalım:

  1. Pay ve paydanın türevlerini alalım:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} \sin x = \cos x$$

$$g'(x) = \frac{d}{dx} x = 1$$

  1. Türevlerin limitini hesaplayalım:

$$lim_{x \to 0} \cos x = \cos 0 = 1$$

$$lim_{x \to 0} 1 = 1$$

  1. Türevlerin limiti 0/0 değildir, bu nedenle limit hesaplanmış olur:

$$lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$$

Örnek 2:

$$lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1}$$

Bu limitin belirsizliği ∞/∞’dır. L’Hopital kuralını kullanarak bu limiti hesaplayalım:

  1. Pay ve paydanın türevlerini alalım:

$$f'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 + 1) = 2x$$

$$g'(x) = \frac{d}{dx} (x^2 – 1) = 2x$$

  1. Türevlerin limitini hesaplayalım:

$$lim_{x \to \infty} 2x = \infty$$

$$lim_{x \to \infty} 2x = \infty$$

  1. Türevlerin limiti ∞/∞’dır, bu nedenle adımları 1 ve 2 tekrarlayalım:

$$f”(x) = \frac{d}{dx} (2x) = 2$$

$$g”(x) = \frac{d}{dx} (2x) = 2$$

  1. Türevlerin limitini hesaplayalım:

$$lim_{x \to \infty} 2 = 2$$

$$lim_{x \to \infty} 2 = 2$$

  1. Türevlerin limiti 2/2’dir, bu nedenle limit hesaplanmış olur:

$$lim_{x \to \infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 – 1} = 2$$

Faydalı Siteler:

Yayımlandı

kategorisi